Юрий Кузнецов родился 2 августа 1931 г. в Баку.

За 1952-1955 и 1960-1965 гг. провёл 216 игр в составе «Нефтчи», и забил 61 гол.

Кузнецов, получивший прозвище «Король паса», был первым в истории азербайджанского футбола, приглашённым в сборную команду СССР. В феврале 1955 г. Кузнецов был вызван на две товарищеские встречи со сборной командой Индии, и стал первым игроком в истории советского футбола, вызванным в национальную сборную из 1-й лиги. В то время «Нефтчи» играл в нижнем дивизионе. В августе-сентябре 1955 г. нападающий вышел на поле в 3-х официальных матчах в составе сборной СССР, и забил 3 гола. Кузнецов создавал прекрасный тандем со своим соотечественником Алекпером Мамедовым, как в национальной сборной, так и в «Нефтчи».

По завершении карьеры начал работать тренером. В 1988 г. он был главным тренером «Нефтчи». В 1962 г. был удостоен звания заслуженного мастера спорта СССР. 

Кузнецов скончался 4 марта 2016 г.